待ち行列モデル

① 待ち行列モデルとは？～カフェの行列で学ぶ仕組み～

放課後、ユウキはカフェで友達と話していました。

「先生、最近数学の授業で『待ち行列モデル』って聞いたんですけど、どういう意味なんですか？」

先生は微笑みながら説明を始めました。

「いい質問だね。待ち行列モデルは、カフェやレジの行列みたいに、順番待ちをする仕組みを分析するためのモデルなんだ。」

ユウキは首をかしげました。

「順番待ちを分析するってどういうことですか？」

先生はカフェの状況を例に挙げました。

「例えば、人気のカフェではお客さんが次々と来店するよね。でも店員さんは限られていて、対応できる人数も決まっている。こういう状況では、お客さんが待つ時間や店員さんの効率を計算して、最適な対応方法を考える必要があるんだ。」

ユウキは驚いた様子で答えました。

「なるほど！カフェだけじゃなくて、病院や駅の窓口でも使えそうですね。」

先生はうなずきながら続けました。

「その通りだよ。例えば、M/M/1モデルというシンプルな待ち行列モデルがあるよ。ここで『M』はポアソン分布に従ってお客さんが来ることを表していて、『1』は窓口が1つしかないことを示しているんだ。」

「条件は a/b/c で表されていて、a が到着間隔、b がサービス提供時間、c が窓口の数を意味しているよ。この場合、M/M/1モデルは、到着とサービスが確率的に決まり、窓口が1つのシンプルなケースを表しているんだ。」

ユウキはメモを取りながら質問しました。

「ポアソン分布って何ですか？」

先生は例を挙げました。

「ポアソン分布は、お客さんが店に入ってくる頻度を表すんだよ。お客さんはある時は集団で入ってきたり、まったく来なかったりするよね。ポアソン分布では、そうした確率を計算できるんだ。」

先生は黒板に式を書きながら説明しました。

「例えば、1時間に平均16人が来店するカフェで、5分間に誰も来ない確率を計算してみよう。」

1. 窓口利用率ρ（ろー）を求める

「まず、窓口利用率を求めよう。これは到着率λ（らむだ）÷サービス率μ（みゅー）で計算するよ。」

「例えば、1時間に16人が来店し、1時間に20人をさばける場合は…」

ρ = 16 ÷ 20 = 0.8

2. 並んでいる人数を求める

「次に並んでいる人数はρ ÷ (1 – ρ)で計算できるよ。」

0.8 ÷ (1 – 0.8) = 4人

3. 平均待ち時間と平均応答時間

「平均待ち時間は、並んでいる人数 ÷ 到着率で求められるんだ。」

4 ÷ 16 = 0.25時間（15分）

「この場合、1人あたりの平均待ち時間は15分だね。」

確率計算

「次に、5分間に誰も来ない確率を計算するね。」

P(0) = e^(-λt)

P(0) = e^(-(16 ÷ 60) × 5)

「ここで、e^(-1.33)の計算をするよ。まずeは約2.718の定数で、マイナスの累乗は分数の逆数を意味するんだ。」

「だから、e^(-1.33)は『eの1.33乗分の1』を意味しているんだね。」

P(0) ≈ 0.2642（約26.42%）

「26.42%の確率で5分間に誰も来ないことがわかるね。」

先生はさらに付け加えました。

「そして、このモデルはマルコフ過程と呼ばれる考え方も使っているんだよ。現在の状態だけを見て未来を予測する方法だね。」

「難しそうだけど、面白そう！」